L'intervallo di una funzione è l'insieme di numeri che la funzione può produrre. In altre parole, è l'insieme di valori y che ottieni quando inserisci tutti i possibili valori x nella funzione. Questo insieme di possibili valori x è chiamato dominio. Se vuoi sapere come trovare l'intervallo di una funzione, segui questi passaggi.
Passi
Metodo 1 di 4: trovare l'intervallo di una funzione data una formula
Passaggio 1. Annota la formula
Diciamo che la formula con cui stai lavorando è la seguente: f(x) = 3x2 + 6x -2. Ciò significa che quando metti una x nell'equazione, otterrai il tuo valore y. Questa è la funzione di una parabola.
Passaggio 2. Trova il vertice della funzione se è quadratica
Se stai lavorando con una linea retta o qualsiasi funzione con un polinomio di un numero dispari, come f(x) = 6x3+2x + 7, puoi saltare questo passaggio. Ma se stai lavorando con una parabola, o qualsiasi equazione in cui la coordinata x è al quadrato o elevata a una potenza pari, dovrai tracciare il vertice. Per fare ciò, usa la formula -b/2a per ottenere la coordinata x della funzione 3x2 + 6x -2, dove 3 = a, 6 = b e -2 = c. In questo caso -b è -6 e 2a è 6, quindi la coordinata x è -6/6 o -1.
- Ora, inserisci -1 nella funzione per ottenere la coordinata y. f(-1) = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5.
- Il vertice è (-1, -5). Disegnalo disegnando un punto in cui la coordinata x è -1 e dove la coordinata y è -5. Dovrebbe essere nel terzo quadrante del grafico.
Passaggio 3. Trova alcuni altri punti nella funzione
Per avere un'idea della funzione, dovresti inserire alcune altre coordinate x in modo da poter avere un'idea di come appare la funzione prima di iniziare a cercare l'intervallo. Poiché è una parabola e la x2 la coordinata è positiva, punterà verso l'alto. Ma solo per coprire le tue basi, inseriamo alcune coordinate x per vedere quali coordinate y producono:
- f(-2) = 3(-2)2 + 6(-2) -2 = -2. Un punto sul grafico è (-2, -2)
- f(0) = 3(0)2 + 6(0) -2 = -2. Un altro punto sul grafico è (0, -2)
- f(1) = 3(1)2 + 6(1) -2 = 7. Un terzo punto sul grafico è (1, 7).
Passaggio 4. Trova l'intervallo sul grafico
Ora, guarda le coordinate y sul grafico e trova il punto più basso in cui il grafico tocca una coordinata y. In questo caso, la coordinata y più bassa è al vertice, -5, e il grafico si estende infinitamente sopra questo punto. Ciò significa che l'intervallo della funzione è y = tutti i numeri reali ≥ -5.
Metodo 2 di 4: trovare l'intervallo di una funzione su un grafico
Passaggio 1. Trova il minimo della funzione
Cerca la coordinata y più bassa della funzione. Supponiamo che la funzione raggiunga il suo punto più basso a -3. Questa funzione potrebbe anche diventare sempre più piccola all'infinito, in modo che non abbia un punto più basso impostato, solo infinito.
Passaggio 2. Trova il massimo della funzione
Diciamo che la coordinata y più alta raggiunta dalla funzione è 10. Questa funzione potrebbe anche diventare sempre più grande all'infinito, quindi non ha un punto più alto impostato, solo l'infinito.
Passaggio 3. Indicare l'intervallo
Ciò significa che l'intervallo della funzione, o l'intervallo delle coordinate y, varia da -3 a 10. Quindi, -3 ≤ f(x) ≤ 10. Questo è l'intervallo della funzione.
- Ma supponiamo che il grafico raggiunga il suo punto più basso in y = -3, ma sale per sempre. Quindi l'intervallo è f(x) ≥ -3 e il gioco è fatto.
- Diciamo che il grafico raggiunge il suo punto più alto a 10 ma va verso il basso per sempre. Allora l'intervallo è f(x) ≤ 10.
Metodo 3 di 4: trovare l'intervallo di una funzione di una relazione
Passaggio 1. Annota la relazione
Una relazione è un insieme di coppie ordinate con coordinate x e y. Puoi guardare una relazione e determinarne il dominio e l'intervallo. Supponiamo che tu stia lavorando con la seguente relazione: {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)}.
Passaggio 2. Elenca le coordinate y della relazione
Per trovare l'intervallo della relazione, annota semplicemente tutte le coordinate y di ciascuna coppia ordinata: {-3, 6, -1, 6, 3}.
Passaggio 3. Rimuovi eventuali coordinate duplicate in modo da avere solo una coordinata y
Noterai che hai elencato "6" due volte. Tiralo fuori in modo da rimanere con {-3, -1, 6, 3}.
Passaggio 4. Scrivere l'intervallo della relazione in ordine crescente
Ora, riordina i numeri nel set in modo da spostarti dal più piccolo al più grande e hai il tuo intervallo. L'intervallo della relazione {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} è {-3, -1, 3, 6}. Hai finito.
Passaggio 5. Assicurarsi che la relazione sia una funzione
Affinché una relazione sia una funzione, ogni volta che inserisci un numero di una coordinata x, la coordinata y deve essere la stessa. Ad esempio, la relazione {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} non è una funzione, perché quando inserisci 2 come x la prima volta, ottieni 3, ma la seconda volta metti un 2, hai un quattro. Affinché una relazione sia una funzione, se inserisci lo stesso input, dovresti sempre ottenere lo stesso output. Se inserisci un -7, dovresti ottenere la stessa coordinata y (qualunque essa sia) ogni singola volta.
Metodo 4 di 4: trovare l'intervallo di una funzione in un problema di parole
Passaggio 1. Leggi il problema
Supponiamo che tu stia lavorando con il seguente problema: "Becky sta vendendo i biglietti per il talent show della sua scuola per 5 dollari ciascuno. La quantità di denaro che raccoglie è una funzione di quanti biglietti vende. Qual è la gamma della funzione?"
Passaggio 2. Scrivere il problema come una funzione
In questo caso, M rappresenta la quantità di denaro che raccoglie e t rappresenta la quantità di biglietti che vende. Tuttavia, poiché ogni biglietto costerà 5 dollari, dovrai moltiplicare la quantità di biglietti venduti per 5 per trovare la quantità di denaro. Pertanto, la funzione può essere scritta come M(t) = 5t.
Ad esempio, se vende 2 biglietti, dovrai moltiplicare 2 per 5 per ottenere 10, la quantità di dollari che riceverà
Passaggio 3. Determinare il dominio
Per determinare l'intervallo, devi prima trovare il dominio. Il dominio è tutti i possibili valori di t che funzionano nell'equazione. In questo caso, Becky può vendere 0 o più biglietti, non può vendere biglietti negativi. Poiché non conosciamo il numero di posti nell'auditorium della sua scuola, possiamo presumere che possa teoricamente vendere un numero infinito di biglietti. E può vendere solo biglietti interi; non può vendere 1/2 biglietto, per esempio. Pertanto, il dominio della funzione è t = qualsiasi intero non negativo.
Passaggio 4. Determinare l'intervallo
La gamma è la possibile somma di denaro che Becky può guadagnare dalla sua vendita. Devi lavorare con il dominio per trovare l'intervallo. Se sai che il dominio è un qualsiasi numero intero non negativo e che la formula è M(t) = 5t, allora sai che puoi inserire qualsiasi numero intero non negativo in questa funzione per ottenere l'output o l'intervallo. Ad esempio, se vende 5 biglietti, allora M(5) = 5 x 5 o 25 dollari. Se vende 100, allora M(100) = 5 x 100, o 500 dollari. Pertanto, l'intervallo della funzione è qualsiasi numero intero non negativo multiplo di cinque.
Ciò significa che qualsiasi numero intero non negativo multiplo di cinque è un possibile output per l'input della funzione
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Suggerimenti
- Per i casi più difficili, potrebbe essere più semplice tracciare il grafico utilizzando prima il dominio (se possibile) e quindi determinare graficamente l'intervallo.
- Vedi se riesci a trovare la funzione inversa. Il dominio della funzione inversa di una funzione è uguale all'intervallo di quella funzione.
- Verificare se la funzione si ripete. Qualsiasi funzione che si ripete lungo l'asse x avrà lo stesso intervallo per l'intera funzione. Ad esempio, f(x) = sin(x) ha un intervallo compreso tra -1 e 1.