Un polinomio è un'espressione composta da addizioni e sottrazioni di termini. Un termine può essere costituito da costanti, coefficienti e variabili. Quando si risolvono polinomi, di solito si cerca di capire per quali valori x y=0. I polinomi di grado inferiore avranno zero, una o due soluzioni reali, a seconda che siano polinomi lineari o polinomi quadratici. Questi tipi di polinomi possono essere facilmente risolti utilizzando l'algebra di base e i metodi di fattorizzazione. Per informazioni sulla risoluzione di polinomi di grado superiore, leggi Risolvi polinomi di grado superiore.
Passi
Metodo 1 di 2: risoluzione di un polinomio lineare
Passaggio 1. Determina se hai un polinomio lineare
Un polinomio lineare è un polinomio di primo grado. Ciò significa che nessuna variabile avrà un esponente maggiore di uno. Poiché questo è un polinomio di primo grado, avrà esattamente una radice reale, o soluzione.
- Ad esempio, 5x+2{displaystyle 5x+2}
is a linear polynomial, because the variable x{displaystyle x}
has no exponent (which is the same as an exponent of 1).
Passaggio 2. Impostare l'equazione su uguale a zero
Questo è un passaggio necessario per risolvere tutti i polinomi.
- Ad esempio, 5x+2=0{displaystyle 5x+2=0}
Passaggio 3. Isolare il termine variabile
Per fare ciò, aggiungi o sottrai la costante da entrambi i lati dell'equazione. Una costante è un termine senza variabile.
- Ad esempio, per isolare x{displaystyle x}
term in 5x+2=0{displaystyle 5x+2=0}
, you would subtract 2{displaystyle 2}
from both sides of the equation:
5x+2=0{displaystyle 5x+2=0}
5x+2−2=0−2{displaystyle 5x+2-2=0-2}
5x=−2{displaystyle 5x=-2}
Passaggio 4. Risolvi per la variabile
Di solito dovrai dividere ciascun lato dell'equazione per il coefficiente. Questo ti darà la radice, o soluzione, del tuo polinomio.
- Ad esempio, per risolvere per x{displaystyle x}
in 5x=−2{displaystyle 5x=-2}
, you would divide each side of the equation by 5{displaystyle 5}
:
5x=−2{displaystyle 5x=-2}
5x5=−25{displaystyle {frac {5x}{5}}={frac {-2}{5}}}
x=−25{displaystyle x={frac {-2}{5}}}
So, the solution to 5x+2{displaystyle 5x+2}
is x=−25{displaystyle x={frac {-2}{5}}}
Method 2 of 2: Solving a Quadratic Polynomial
Passaggio 1. Determina se hai un polinomio quadratico
Un polinomio quadratico è un polinomio di secondo grado. Ciò significa che nessuna variabile avrà un esponente maggiore di 2. Poiché questo è un polinomio di secondo grado, avrà due radici reali, o soluzioni.
- Ad esempio, x2+8x-20{displaystyle x^{2}+8x-20}
is a quadratic polynomial, because the variable x{displaystyle x}
has an exponent of 2{displaystyle 2}
Passaggio 2. Assicurati che il polinomio sia scritto in ordine di grado
Ciò significa che il termine con l'esponente di 2{displaystyle 2}
is listed first, followed by the first-degree term, followed by the constant.
- For example, you would rewrite 8x+x2−20{displaystyle 8x+x^{2}-20}
as x2+8x−20{displaystyle x^{2}+8x-20}
Passaggio 3. Imposta l'equazione su uguale a zero
Questo è un passaggio necessario per risolvere tutti i polinomi.
- Ad esempio, x2+8x-20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}
Passaggio 4. Riscrivi l'espressione come un'espressione a quattro termini
Per fare ciò, suddividi il termine di primo grado (la x{displaystyle x}
term). You are looking for two numbers whose sum is equal to the first degree coefficient, and whose product is equal to the constant.
- For example, for the quadratic polynomial x2+8x−20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}
, you need to find two numbers (a{displaystyle a}
and b{displaystyle b}
), where a+b=8{displaystyle a+b=8}
, and a⋅b=−20{displaystyle a\cdot b=-20}
- Since you have −20{displaystyle -20}
, you know that one of the number will be negative.
- You should see that 10+(−2)=8{displaystyle 10+(-2)=8}
and 10⋅(−2)=−20{displaystyle 10\cdot (-2)=-20}
. Thus, you will split up 8x{displaystyle 8x}
into 10x−2x{displaystyle 10x-2x}
and rewrite the quadratic polynomial: x2+10x−2x−20=0{displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}
Passaggio 5. Fattore per raggruppamento
Per fare ciò, scomponi un termine comune ai primi due termini del polinomio.
- Ad esempio, i primi due termini del polinomio x2+10x−2x−20=0{displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}
are x2+10x{displaystyle x^{2}+10x}
. A term common to both is x{displaystyle x}
. Thus, the factored group is x(x+10){displaystyle x(x+10)}
Passaggio 6. Fattorizzare il secondo gruppo
Per fare ciò, scomponi un termine comune ai secondi due termini del polinomio.
- Ad esempio, i secondi due termini del polinomio x2+10x−2x−20=0{displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}
are −2x−20{displaystyle -2x-20}
. A term common to both is −2{displaystyle -2}
. Thus, the factored group is −2(x+10){displaystyle -2(x+10)}
Passaggio 7. Riscrivi il polinomio come due binomi
Un binomio è un'espressione a due termini. Hai già un binomio, che è l'espressione tra parentesi per ogni gruppo. Questa espressione dovrebbe essere la stessa per ogni gruppo. Il secondo binomio viene creato combinando i due termini che sono stati presi in considerazione da ciascun gruppo.
- Ad esempio, dopo aver scomposto in fattori per raggruppamento, x2+10x-2x-20=0{displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}
becomes x(x+10)−2(x+10)=0{displaystyle x(x+10)-2(x+10)=0}
- The first binomial is (x+10){displaystyle (x+10)}
- The second binomial is (x−2){displaystyle (x-2)}
- So the original quadratic polynomial, x2+8x−20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}
can be written as the factored expression (x+10)(x−2)=0{displaystyle (x+10)(x-2)=0}
Passaggio 8. Trova la prima radice o soluzione
Per fare ciò, risolvi per x{displaystyle x}
in the first binomial.
- For example, to find the first root for (x+10)(x−2)=0{displaystyle (x+10)(x-2)=0}
, you would first set the first binomial expression to 0{displaystyle 0}
and solve for x{displaystyle x}
. Thus:
x+10=0{displaystyle x+10=0}
x+10−10=0−10{displaystyle x+10-10=0-10}
x=−10{displaystyle x=-10}
So, the first root of the quadratic polynomial x2+8x−20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}
is −10{displaystyle -10}
Passaggio 9. Trova la seconda radice o soluzione
Per fare ciò, risolvi per x{displaystyle x}
in the second binomial.
- For example, to find the second root for (x+10)(x−2)=0{displaystyle (x+10)(x-2)=0}
, you would set the second binomial expression to 0{displaystyle 0}
and solve for x{displaystyle x}
. Thus:
x−2=0{displaystyle x-2=0}
x−2+2=0+2{displaystyle x-2+2=0+2}
x=2{displaystyle x=2}
So, the second root of the quadratic polynomial x2+8x−20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}
is 2{displaystyle 2}
Suggerimenti
- Non preoccuparti se ottieni variabili diverse, come t, o se vedi un'equazione impostata su f(x) invece di 0. Se la domanda richiede radici, zeri o fattori, trattala come qualsiasi altro problema.
- Ricorda l'ordine delle operazioni mentre lavori: prima lavora tra parentesi, poi fai la moltiplicazione e la divisione e infine fai l'addizione e la sottrazione.
